X ∼ G ( p ) X\sim G(p) X∼G(p) ,则其分布律为 P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p k = 1 , 2 , 3 , ⋯ P\{X=k\} = (1-p)^{k-1}p \quad k = 1,2,3,\cdots P{X=k}=(1−p)k−1pk=1,2,3,⋯ ，此时有 E ( X ) = 1 p . E(X)=\frac{1}{p}. E(X)=p1​.

证明：

E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 p = p ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 令 S = ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 = 1 ⋅ ( 1 − p ) 0 + 2 ⋅ ( 1 − p ) 1 + 3 ⋅ ( 1 − p ) 2 + ⋯ + ( k − 1 ) ⋅ ( 1 − p ) k − 2 + k ⋅ ( 1 − p ) k − 1 ( 1 ) ( 1 − p ) S = 1 ⋅ ( 1 − p ) 1 + 2 ⋅ ( 1 − p ) 2 + 3 ⋅ ( 1 − p ) 3 + ⋯ + ( k − 1 ) ⋅ ( 1 − p ) k − 1 + k ⋅ ( 1 − p ) k ( 2 ) 由 ( 1 ) − ( 2 ) 可 得 , p S = ( 1 − p ) 0 + ( 1 − p ) 1 + ( 1 − p ) 2 + ⋯ + ( 1 − p ) k − 2 + ( 1 − p ) k − 1 − k ⋅ ( 1 − p ) k ∴ p S = 1 p − ( 1 p + k ) ( 1 − p ) k ∵ 0 ≤ ( 1 − p ) ≤ 1 且 k → ∞ ∴ lim ⁡ k → ∞ ( 1 − p ) k = 0 ∴ p S = 1 p ∴ S = ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 = 1 p 2 ∴ E ( X ) = p ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 = p S = 1 p \begin{aligned} &E(X) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}p = p\sum\limits_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}\\ &令 S = \sum\limits_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1} = 1\cdot(1-p)^0+2\cdot(1-p)^1+3\cdot(1-p)^2+\cdots+(k-1)\cdot(1-p)^{k-2}+k\cdot(1-p)^{k-1} \quad (1)\\&(1-p)S=1\cdot(1-p)^1+2\cdot(1-p)^2+3\cdot(1-p)^3+\cdots+(k-1)\cdot(1-p)^{k-1}+k\cdot(1-p)^{k} \quad (2)\\&由 (1)-(2) 可得, pS = (1-p)^0+(1-p)^1+(1-p)^2+\cdots+(1-p)^{k-2}+(1-p)^{k-1}-k\cdot(1-p)^{k} \\&\therefore pS = \frac{1}{p}-(\frac{1}{p}+k)(1-p)^k\quad \because 0 \leq (1-p) \leq 1 且 k \to \infty \quad \therefore \lim\limits_{k\to \infty}(1-p)^k=0 \quad \therefore pS=\frac{1}{p}\\&\therefore S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1} = \frac{1}{p^2} \\&\therefore E(X) = p\sum\limits_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}=pS = \frac{1}{p} \end{aligned} ​E(X)=k=1∑∞​k(1−p)k−1p=pk=1∑∞​k(1−p)k−1令S=k=1∑∞​k(1−p)k−1=1⋅(1−p)0+2⋅(1−p)1+3⋅(1−p)2+⋯+(k−1)⋅(1−p)k−2+k⋅(1−p)k−1(1)(1−p)S=1⋅(1−p)1+2⋅(1−p)2+3⋅(1−p)3+⋯+(k−1)⋅(1−p)k−1+k⋅(1−p)k(2)由(1)−(2)可得,pS=(1−p)0+(1−p)1+(1−p)2+⋯+(1−p)k−2+(1−p)k−1−k⋅(1−p)k∴pS=p1​−(p1​+k)(1−p)k∵0≤(1−p)≤1且k→∞∴k→∞lim​(1−p)k=0∴pS=p1​∴S=k=1∑∞​k(1−p)k−1=p21​∴E(X)=pk=1∑∞​k(1−p)k−1=pS=p1​​

证明方法二：

E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 p = p ∑ k = 1 ∞ k ( 1 − p ) k − 1 \begin{aligned} &E(X) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}p = p\sum\limits_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1} \end{aligned} ​E(X)=k=1∑∞​k(1−p)k−1p=pk=1∑∞​k(1−p)k−1​

我们注意到，求和级数的形式为 k x k − 1 kx^{k-1} kxk−1 , 求和不便，但是我们知道 ( x k ) ′ = k x k − 1 (x^k)' = kx^{k-1} (xk)′=kxk−1

∴ ∑ k = 1 ∞ k x k − 1 = ( ∑ k = 1 ∞ x k ) ′ = ( x ( 1 − x k ) 1 − x ) ′ 当 0 < x < 1 且 k → ∞ 时 ， lim ⁡ k → ∞ x k = 0 ∴ ∑ k = 1 ∞ k x k − 1 = ( x 1 − x ) ′ = 1 ( 1 − x ) 2 \begin{aligned} &\therefore \sum\limits_{k=1}^{\infty}kx^{k-1} =(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^k)' =(\frac{x(1-x^k)}{1-x})' \\&当0